前言

刚学完manacher就来学回文自动机……

感觉好像（板子）也不是很难（背）？

前置知识：Manacher（也不一定非要因为和这个没啥关系），知道自动机是个啥以及怎么建

简述

回文树和回文自动机指的是同一个东西

是由某西伯利亚人于2014夏发明的

这东西主要是用于计数，计算回文串的个数以及种类啥的

建树

图我就不放了（太乱了放了也看不懂），要看图的话可以去这位大神的blog里看一下->

不过个人感觉看文字描述应该就会了……吧……

首先，回文树里有两棵树，分别记录长度为奇数和偶数的回文串

每个节点代表一个回文串，记录转移$x$，表示如果在这个回文串前后都加上字符$x$形成的回文串是子节点的子串

然后每一个节点记录一个fail指针，指向这个回文串的最长后缀回文串

然后我们考虑建树，假设已经建好了串$s[1...i-1]$，要把字符$s[i]$插入这棵树

那么每一次只会把$s[1...i]$的最长后缀回文串加进树里。

证明：（抄的）

我们设后缀回文$i$是最长后缀回文$k$的子串，那么$i$肯定关于$k$的回文中心有一个对称串$j$，由于$k$本身是对称的，所以$j$和$i$是相同的，那么$j$已经被加入到回文树中，所以$i$不必再加入

然后就没问题了。我们设最长回文后缀为$k$，加入字符$c$，那么如果可以，最长回文后缀会变成$ckc$

然而如果$k$之前的字母不是$c$怎么办？这个时候$fail$指针就派上用场了。我们用$fail$维护每一个节点的最长后缀回文，如果$k$不行，我们看看$k$的最长后缀回文是否可行（就是看$k$的最长后缀回文的前一个字母是否等于$c$），然后就这样一直跳$fail$指针直到找到为止（如果一直没有找到会跳到根节点，下面再说）

然后如何维护$fail$呢？我们只要找到了当前节点的最长回文后缀然后记录一下就就好了

然后字符要接在之前的串的后面，记录一下$last$表示上一个串的节点

然后注意特殊处理两个根节点，$0$代表长度为偶数的后缀的根，$1$代表长度为$1$的后缀的根，我们令$fail[0]$指向$1$，$len[1]=-1$，然后令$s[0]=-1$（或任何一个不在原串中出现的字符）（$len$代表这个节点的串长）

就比如说如果跳的时候一直找不到回文怎么办？这个时候这个节点就单独形成一个回文串，那么我们在判断$s[i-len[x]-1]==s[i]$的时候，因为$len[1]=-1$，所以必定会停止，那么就不用担心会无限跳下去了

然后来几道题吧

这就是一个板子，顺便记录一下出现次数就好了

然后该有的注解都会写在代码里

1 //minamoto 2 #include
     
       3 #include
      
        4 #define ll long long 5 template
       
        inline bool cmax(T&a,const T&b){
   return a
       
      
     

我们肯定要先建出回文自动机的

然后如果是枚举每一个节点暴跳fail指针肯定得T

那么我们对于每一个节点记录一个$trans[i]$，表示小于等于它长度一半的节点

这个可以在建自动机的时候顺便求出来，具体看代码

然后对每一个节点判断长度是否模4为0且$trans[i]$的长度是它的一半就好了

1 //minamoto 2 #include
     
       3 #include
      
        4 template
       
        inline bool cmax(T&a,const T&b){
   return a
        
         len[q]) tmp=fail[tmp];27                 trans[q]=ch[tmp][x];28             }29         }30         cnt[last=ch[p][x]]++;31     }32 }33 int main(){34 //    freopen("testdata.in","r",stdin);35     scanf("%d",&n);36     scanf("%s",s+1);37     s[0]=-1,fail[0]=1,last=0;38     len[0]=0,len[1]=-1,tot=1;39     build();40     for(int i=tot;i>=2;--i) cnt[fail[i]]+=cnt[i];41     for(int i=2;i<=tot;++i)42     if((len[trans[i]]<<1)==len[i]&&len[i]%4==0) cmax(ans,len[i]);43     printf("%d\n",ans);44     return 0;45 }
        
       
      
     

先建一个回文自动机，然后记$dp[i]$表示转移到$i$节点代表的回文串的最少的需要次数

首先肯定2操作越多越好，经过2操作之后的串必定是一个回文串，所以最后的答案肯定是由一个回文串+不断暴力添加得来，那么答案就是$min(ans,dp[i]+n-len[i])$

然后对于一个串$i$，如果它在前面和后面加上一个字母可以形成回文串$j$，则$dp[j]=dp[i]+1$

为啥嘞？我们可以假设在形成$i$的之前一步把这个字母加上去，执行2操作后就可以变成$j$了

然后我们可以fail指针找到最长的回文串$x$满足$len[x]<=len[i]/2$，那么$dp[i]=min(dp[i],dp[x]+1+len[i]/2-len[x])$（先暴力填好一半，剩下的用2操作）

然后可以用队列记录状态，保证转移至有序的

至于怎么找$x$，我们可以直接在建自动机的时候顺便求出来，就是多跳几次。这个看代码好了

1 //minamoto 2 #include
     
       3 #include
      
        4 template
       
        inline bool cmin(T&a,const T&b){
   return a>b?a=b,1:0;} 5 const int N=2e5+5,M=5; 6 char s[N];int dp[N],len[N],fail[N],ch[N][M]; 7 int trans[N],last,p,q,str[N],tot,ans,n,qu[N]; 8 int val[105]; 9 inline int newnode(int x){10     len[++tot]=x;memset(ch[tot],0,sizeof(ch[tot])*5);return tot;11 }12 inline int getfail(int x,int n){13     while(s[n-len[x]-1]!=s[n]) x=fail[x];return x;14 }15 inline void init(){16     val['A']=0,val['T']=1,val['C']=2,val['G']=3;17     s[0]=-1,fail[0]=1,last=0;18     len[0]=0,len[1]=-1,tot=1;19     memset(ch[0],0,sizeof(int)*5),memset(ch[1],0,sizeof(int)*5);20 }21 void ins(int c,int i){22     p=getfail(last,i);23     if(!ch[p][c]){24         q=newnode(len[p]+2);25         fail[q]=ch[getfail(fail[p],i)][c];26         ch[p][c]=q;27         if(len[q]<=2) trans[q]=fail[q];28         else{29             int tmp=trans[p];30             while(s[i-1-len[tmp]]!=s[i]||(len[tmp]+2)*2>len[q]) tmp=fail[tmp];31             trans[q]=ch[tmp][c];32         }33     }34     last=ch[p][c];35 //    printf("%d\n",last);36 }37 int main(){38 //    freopen("testdata.in","r",stdin);39     int T;scanf("%d",&T);40     while(T--){41         scanf("%s",s+1);42         init(),ans=n=strlen(s+1);43         for(int i=1;i<=n;++i) ins(val[s[i]],i);44         for(int i=2;i<=tot;++i) dp[i]=len[i];45         int h=1,t=0;qu[++t]=0,dp[0]=1;46         while(h<=t){47             int u=qu[h++];48             for(int i=0;i<4;++i){49                 int x=ch[u][i];50                 if(!x) continue;51                 dp[x]=dp[u]+1;52                 int y=trans[x];53                 cmin(dp[x],dp[y]+1+len[x]/2-len[y]);54                 cmin(ans,dp[x]+n-len[x]);55                 qu[++t]=x;56             }57         }58         printf("%d\n",ans);59     }60     return 0;61 }
       
      
     

 我感觉我整个人都自动机了……